Пусть f дифференцируема на всей ℝ. Доказать, что f непрерывна на всей ℝ.

Step-by-step solution

1. 1

   Сведём утверждение к одной точке. Непрерывность на $\mathbb{R}$ означает непрерывность в каждой точке $a\in\mathbb{R}$, поэтому достаточно зафиксировать произвольное $a$ и показать:

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   Или, что то же самое, $\displaystyle\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=0$.

2. 2

   Используем условие задачи. По условию $f$ дифференцируема в точке $a$, то есть существует конечный предел

   $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

   Это существование — единственное, что можно использовать, поэтому доказательство нужно построить вокруг него.

3. 3

   Искусственно вставим разностное отношение. Для $x\neq a$ верно тождество, получаемое умножением и делением на $x-a$:

   $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)$

   В этом и состоит весь приём: неизвестную разность удалось представить как произведение выражения с известным пределом и выражения, явно стремящегося к $0$.

4. 4

   Переходим к пределам, используя правило произведения. Пределы обоих множителей существуют, значит, предел произведения равен произведению пределов:

   $\lim_{x\to a}\big(f(x)-f(a)\big)=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right)=f'(a)\cdot 0=0$

   Здесь важно, что $f'(a)$ — конечное число; если бы производная была бесконечной, возникла бы неопределённость $\infty\cdot 0$.

5. 5

   Делаем вывод. Значит, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, то есть $f$ непрерывна в точке $a$. Так как $a$ выбиралось произвольно,

   $\boxed{f\text{ непрерывна на всём }\mathbb{R}}$

6. 6

   Обратное неверно. Непрерывность вовсе не гарантирует дифференцируемость: функция $f(x)=|x|$ непрерывна в нуле, но разностное отношение $\tfrac{|x|}{x}$ стремится к $+1$ справа и к $-1$ слева, так что $f'(0)$ не существует. Функция Вейерштрасса непрерывна всюду и нигде не дифференцируема, что показывает — исключения не единичны.