Найти сумму бесконечного ряда с общим членом 1/(4n² − 1), суммирование от n = 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем знаменатель на множители. Выражение $4n^2-1$ — разность квадратов: $(2n-1)(2n+1)$. Произведение двух линейных множителей и есть признак того, что разложение на простейшие дроби даст телескопическую сумму.

2. 2

   Разлагаем на простейшие дроби. Запишем $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}$. Избавляясь от знаменателей, получаем $1=A(2n+1)+B(2n-1)$; подстановка $n=\frac12$ даёт $A=\frac12$, а $n=-\frac12$ даёт $B=-\frac12$.

3. 3

   Выписываем общий член. $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$.

4. 4

   Составляем частичную сумму. $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]$. Каждая внутренняя дробь встречается один раз со знаком плюс и один раз со знаком минус, поэтому выживают только первая и последняя: $S_N=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$.

5. 5

   Переходим к пределу. При $N\to\infty$ величина $\frac{1}{2N+1}\to 0$, поэтому $S_N\to\frac12$.

6. 6

   Численная проверка. Сложение первых $2\times10^{6}$ членов даёт $0.49999988$, что согласуется с формулой $S_N=\frac12-\frac{1}{2(2N+1)}$.