Найти ряд Маклорена для tan(x)/(1 + x²) до и включая слагаемое степени 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем умножение рядов вместо многократного дифференцирования. Находить $f^{(7)}(0)$ напрямую крайне трудоёмко. Вместо этого воспользуемся двумя известными разложениями в ряд и перемножим их, оставляя только члены степени $\le 7$:

   $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+O\!\left(x^9\right)$

   $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+O\!\left(x^8\right)$

   Второй ряд — это геометрическая прогрессия $\sum(-1)^n x^{2n}$, справедливая при $|x|<1$.

2. 2

   Замечаем, что в результате могут остаться только нечётные степени. $\tan x$ — нечётная функция, а $\dfrac{1}{1+x^2}$ — чётная, поэтому их произведение будет нечётной функцией, и все коэффициенты при чётных степенях должны обращаться в ноль. Это сокращает объём вычислений и служит проверкой.

3. 3

   Находим коэффициенты при $x^3$ и $x^5$. Перемножим каждый член ряда тангенса на каждый член геометрического ряда и соберём одинаковые степени:

   $[x^3]:\; 1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1=-\frac23$

   $[x^5]:\; 1\cdot 1+\frac13\cdot(-1)+\frac{2}{15}\cdot 1=\frac{15-5+2}{15}=\frac{12}{15}=\frac45$

4. 4

   Находим коэффициент при $x^7$. Здесь участвуют четыре произведения:

   $[x^7]:\;1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1+\frac{2}{15}\cdot(-1)+\frac{17}{315}\cdot 1$

   Приводим к общему знаменателю $315$: $\dfrac{-315+105-42+17}{315}=\dfrac{-235}{315}=-\dfrac{47}{63}$.

5. 5

   Записываем итоговый ряд и проверяем его численно.

   $\frac{\tan x}{1+x^2}=x-\frac{2}{3}x^3+\frac{4}{5}x^5-\frac{47}{63}x^7+O\!\left(x^9\right)$

   При $x=0.1$ усечённый ряд даёт $0.09934125873$, а $\tan(0.1)/1.01=0.09934125949$ — совпадение до $8$ знаков после запятой, что соответствует ожидаемой точности при остатке $O(x^9)$ $\checkmark$.