Найдите неопределённый интеграл cos(2x) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Предположим вид первообразной и подберём множитель. Известно, что первообразная для $\cos$ — это $\sin$, поэтому ответ должен иметь вид $A\sin2x$. Найдём производную этого выражения: $\dfrac{d}{dx}\left(A\sin2x\right)=2A\cos2x$. Чтобы совпасть с $\cos2x$, требуется $2A=1$, отсюда $A=\tfrac12$. Множитель $\tfrac12$ — не формальность, а необходимое условие: он компенсирует «лишнюю двойку», которую даёт правило цепочки.

2. 2

   Выполним замену переменной. Пусть $u=2x$, тогда $du=2\,dx$, откуда $dx=\tfrac12\,du$:

   $\int\cos2x\,dx=\int\cos u\cdot\frac12\,du=\frac12\int\cos u\,du=\frac12\sin u+C$

3. 3

   Вернёмся к исходной переменной.

   $\int\cos2x\,dx=\frac12\sin2x+C$

4. 4

   Запишем общий результат. Для любого ненулевого постоянного $a$:

   $\int\cos ax\,dx=\frac{1}{a}\sin ax+C$

   Множитель перед синусом — это всегда обратное значение коэффициента при x. По аналогии: $\int\sin ax\,dx=-\tfrac1a\cos ax+C$.

5. 5

   Типичные ошибки. Часто забывают множитель $\tfrac12$ и пишут $\sin2x+C$, либо ошибочно ставят $2\sin2x+C$ (переворачивают дробь). Проверка производной за несколько секунд позволяет сразу выявить такие ошибки.

6. 6

   Проверим ответ дифференцированием. $\dfrac{d}{dx}\left(\tfrac12\sin2x\right)=\tfrac12\cdot2\cos2x=\cos2x$ — верно. Если вычислить симметричные разностные отношения для $\tfrac12\sin2x$ при $x=0{,}3$, $1{,}4$, $-0{,}9$, значения совпадут с $\cos2x$ до пяти знаков после запятой — проверка пройдена.