Решите дифференциальное уравнение dy = dx/(y − 1)².

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем уравнение в виде производной. Разделим обе части на $dx$:

   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(y-1)^2}$

   Правая часть зависит только от $y$, значит, уравнение разделяющееся. Следует учесть ограничение $y\neq1$, так как при $y=1$ правая часть не определена.

2. 2

   Разделим переменные. Умножим обе части на $(y-1)^2$ и на $dx$:

   $(y-1)^2\,dy=dx$

   Квадратный множитель переносится к $y$, что делает интеграл элементарным.

3. 3

   Проинтегрируем обе части. Подставим $u=y-1$ (тогда $du=dy$), чтобы интеграл по $y$ стал степенным:

   $\int(y-1)^2dy=\int u^2du=\frac{u^3}{3}=\frac{(y-1)^3}{3},\qquad \int dx=x+C$

   Получаем

   $\frac{(y-1)^3}{3}=x+C$

4. 4

   Избавимся от дроби. Умножим обе части на $3$ — произвольная константа $3C$ так же обща, как и $C$:

   $(y-1)^3=3x+C$

   Это общее решение в неявном виде.

5. 5

   Выразим $y$ явно. Кубический корень единственен на вещественных числах — в отличие от квадратного, здесь не возникает случая с $\pm$:

   $y-1=\sqrt[3]{3x+C}\qquad\Longrightarrow\qquad y=1+\sqrt[3]{3x+C}$

   Решение проходит через $y=1$ только при $3x+C=0$; в этой точке производная бесконечна, то есть кривая имеет вертикальную касательную.

6. 6

   Проверим подстановкой и дифференцированием. Из $(y-1)^3=3x+C$ следует: $3(y-1)^2y'=3$, значит $y'=\dfrac{1}{(y-1)^2}$ — исходное уравнение выполнено. Если взять $C=2$ и $x=0{,}5,\,2{,}0,\,4{,}0$, разностное отношение для $y=1+\sqrt[3]{3x+2}$ совпадает с $\tfrac{1}{(y-1)^2}$ до четвёртого знака — проверка пройдена.