Вычислить неопределённый интеграл 1/(a - bx) по x, где a и b — константы, b ≠ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор подстановки. Поскольку знаменатель — линейная функция, удобно обозначить весь знаменатель новой переменной:

   $u=a-bx$

   Это стандартный приём для любого интеграла вида $\int\frac{dx}{\text{линейное}}$ — не стоит сразу применять разложение на простые дроби или вспоминать формулу для $\ln$.

2. 2

   Дифференцируем подстановку и выражаем dx.

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   Знак минус появляется из-за $-bx$; потеря этого минуса — самая частая ошибка при вычислении такого интеграла.

3. 3

   Переписываем интеграл через u.

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   Постоянный множитель $-\tfrac1b$ выносится за знак интеграла.

4. 4

   Интегрируем и возвращаемся к x. Так как $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$:

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   Модуль обязателен: $a-bx$ меняет знак при $x=\tfrac{a}{b}$, где подынтегральная функция имеет вертикальную асимптоту, и первообразная корректна на каждом из промежутков по отдельности.

5. 5

   Общий вид результата. Для любой линейной функции внутри интеграла:

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   В нашем случае $p=-b$, что сразу даёт $-\tfrac1b$. Коэффициент перед логарифмом — всегда обратный внутреннему угловому коэффициенту.

6. 6

   Проверка дифференцированием. По правилу цепочки: $\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓. Для $a=3.7$, $b=1.9$ численная проверка симметричными разностями при $x=0.4,\,-2.0,\,3.0$ совпадает с подынтегральной функцией до пяти знаков ✓, включая точки по обе стороны асимптоты при $x=1.947$.