Вычислите определённый интеграл x² + 3 по dx от x = 0 до x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём интеграл по слагаемым. Интегрирование линейно, поэтому каждое слагаемое можно рассматривать отдельно:

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx.$

2. 2

   Найдём первообразные каждого слагаемого по формуле степенного интегрирования. Используется правило: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при $n\ne-1$:

   $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$

   Значит, первообразная всего подынтегрального выражения — $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+3x$. Постоянную интегрирования для определённого интеграла не учитываем — она сократится при вычитании.

3. 3

   Применим основную теорему анализа. Подставим пределы интегрирования: значение $F$ в верхнем пределе минус значение в нижнем:

   $\left[\frac{x^{3}}{3}+3x\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$

4. 4

   Выполним подстановку и вычисления. При $x=1$:

   $\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.$

   При $x=0$: $0+0=0$. Вычитаем:

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\frac{10}{3}-0=\frac{10}{3}\approx3.3333.$

5. 5

   Проверим рассуждение прикидкой площади. На отрезке $[0,1]$ подынтегральная функция меняется от $3$ до $4$, значит, площадь должна быть строго между $3\times1=3$ и $4\times1=4$ — и $\tfrac{10}{3}=3.33$ действительно попадает в этот диапазон. Если разбить: постоянное слагаемое $3$ даёт прямоугольник площадью $3$, а $x^{2}$ — $\tfrac13$, что совпадает с известной площадью под параболой на единичном отрезке.