Найти предел 4 / (x² · 2^{1/x}) при x стремится к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Следует заметить, что $1/x$ меняет знак при переходе через ноль. При $x\to 0^{+}$ имеем $1/x\to+\infty$ и $2^{1/x}\to+\infty$; при $x\to 0^{-}$ — $1/x\to-\infty$ и $2^{1/x}\to 0^{+}$. Таким образом, данный множитель ведёт себя по-разному слева и справа от нуля, поэтому односторонние пределы необходимо считать отдельно — предполагать, что существует один общий предел, здесь ошибка.

2. 2

   Правосторонний предел: подставим $t=1/x$. При $x\to 0^{+}$ получаем $t\to+\infty$ и $x^2=1/t^2$, поэтому

   $\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot 2^{t}}=\frac{4t^2}{2^{t}}$

   Такая подстановка превращает неудобный знаменатель $0\cdot\infty$ в привычное «соревнование» многочлена и экспоненты.

3. 3

   Экспоненциальный рост побеждает, значит, правосторонний предел равен 0. Для любой фиксированной степени $n$ выполняется $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t^{n}}{2^{t}}=0$ (для $n=2$ это легко показать дважды применяя правило Лопиталя). Следовательно,

   $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{x^2\cdot 2^{1/x}}=0$

4. 4

   Левосторонний предел: подставим $t=-1/x$. Теперь при $x\to 0^{-}$ имеем $t\to+\infty$, $x^2=1/t^2$, а $2^{1/x}=2^{-t}=\dfrac{1}{2^{t}}$, поэтому выражение принимает вид

   $\frac{4}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{1}{2^{t}}}=4t^2 2^{t}\to+\infty$

   Оба множителя в знаменателе стремятся к нулю, поэтому вся дробь стремится к бесконечности.

5. 5

   Делаем вывод: двухстороннего предела не существует. Так как

   $\lim_{x\to 0^{+}}=0\neq +\infty=\lim_{x\to 0^{-}}$

   односторонние пределы не совпадают, а двухсторонний предел существует только если они равны.

6. 6

   Проверим значения на числах. При $x=0.02$ значение выражения составляет $8.9\times 10^{-12}$; при $x=-0.02$ — $1.1\times 10^{19}$. То есть при одинаковом приближении к нулю с разных сторон результат отличается на тридцать порядков — наглядное подтверждение отсутствия единственного предела.