Решить дифференциальное уравнение y'' − 3y' + 2y = eˣ.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала решаем однородное уравнение. Подстановка $y = e^{rx}$ в $y'' - 3y' + 2y = 0$ даёт характеристическое уравнение

   $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1,\ 2$

   поэтому $y_h = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$. Это нужно найти до частного решения: именно отсюда видно, резонирует правая часть или нет.

2. 2

   Обнаруживаем резонанс. Правая часть $e^{x}$ имеет показатель $1$, а это один из корней характеристического уравнения — то есть $e^{x}$ уже является решением однородного уравнения. Подстановка пробной функции $y_p = Ae^{x}$ дала бы $0$, но никак не $e^{x}$, поэтому такая проба заведомо не работает.

3. 3

   Домножаем пробную функцию на x. Стандартное лекарство при простом корне — один дополнительный множитель $x$: берём $y_p = Axe^{x}$. Тогда

   $y_p' = A(1 + x)e^{x}, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^{x}$

4. 4

   Подставляем и приравниваем коэффициенты.

   $A(2+x)e^{x} - 3A(1+x)e^{x} + 2Axe^{x} = A e^{x}\left[(2+x) - 3(1+x) + 2x\right] = -Ae^{x}$

   Слагаемые с $x$ уничтожаются полностью — верный признак правильно выбранной резонансной пробы. Из $-Ae^x = e^x$ получаем $A = -1$, то есть $y_p = -xe^{x}$.

5. 5

   Собираем и проверяем общее решение.

   $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x}$

   Проверка: при $y_p = -xe^x$ имеем $y_p' = -(1+x)e^x$ и $y_p'' = -(2+x)e^x$, поэтому $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = e^x\left[-(2+x) + 3(1+x) - 2x\right] = e^x$, как и требовалось.