Вычислите тройной интеграл от 2x − 2yz по области E, где 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x − 2 и 0 ≤ z ≤ −2x + 4y − 4. Ответ дайте точным.

Step-by-step solution

1. 1

   Интегрируем по z, считая x и y постоянными. Обозначив верхний предел через $Z=-2x+4y-4$, получаем $\int_0^{Z}(2x-2yz)\,dz=2xZ-yZ^2$. Меняется только $z$, поэтому $2x$ даёт $2xZ$, а $-2yz$ даёт $-yZ^2$.

2. 2

   Подставляем предел и раскрываем скобки. При $Z=4y-2x-4$ внутренний результат разворачивается в $-16y^3+16xy^2+32y^2-4x^2y-8xy-16y-4x^2-8x$. Раскрыть всё сразу надёжнее, чем тащить свёрнутое $Z$ через следующее интегрирование.

3. 3

   Интегрируем по y от 0 до 2x − 2. Первообразная по слагаемым с подстановкой $y=2x-2$ даёт внешнюю подынтегральную функцию $-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}$, которая раскладывается как $-\frac{8}{3}(x-1)\left(11x^3-66x^2+132x-68\right)$.

4. 4

   Находим первообразную по x. $\int\left(-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}\right)dx=-\frac{88}{15}x^5+\frac{154}{3}x^4-176x^3+\frac{800}{3}x^2-\frac{544}{3}x$.

5. 5

   Подставляем пределы от x = 2 до x = 3. Первообразная даёт $-\frac{466}{5}$, то есть $-93.2$. Ответ отрицателен, потому что на большей части области преобладает слагаемое $-2yz$.

6. 6

   Численная проверка. Вложенные адаптивные квадратуры по тем же пределам дают $-93.200000$, что совпадает с $-\frac{466}{5}=-93.2$ до шести знаков после запятой.

7. 7

   Следите за выкладками на шаге по y. В широко разошедшемся решении этой задачи приводят $-\frac{4868}{45}\approx -108.2$; это значение не проходит численную проверку, а ошибка вкрадывается при подстановке $y=2x-2$ в раскрытую первообразную по $y$.