Найдите предел при x → 2 выражения (корень из (3x − 2) минус 2), делённого на (корень из x минус корень из 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Убедимся, что перед нами неопределённость. При $x=2$ числитель равен $\sqrt{6-2}-2 = 2-2 = 0$, а знаменатель — $\sqrt2-\sqrt2 = 0$, то есть получается $\tfrac00$ и прямая подстановка не проходит.

2. 2

   Сделаем замену t = √x, чтобы знаменатель стал линейным. При $x=t^2$ и $t\to\sqrt2$ приходим к $\lim_{t\to\sqrt2}\frac{\sqrt{3t^2-2}-2}{t-\sqrt2}.$ Линейный знаменатель вида $t-c$ — характерный признак определения производной.

3. 3

   Узнаём разностное отношение. Положим $f(t)=\sqrt{3t^2-2}$. Тогда $f(\sqrt2)=\sqrt{6-2}=2$, и выражение — это в точности $\frac{f(t)-f(\sqrt2)}{t-\sqrt2} \longrightarrow f'(\sqrt2).$

4. 4

   Продифференцируем по правилу дифференцирования сложной функции. $f'(t) = \frac{1}{2}(3t^2-2)^{-1/2}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2-2}}.$

5. 5

   Вычислим производную в точке t = √2. $f'(\sqrt2) = \frac{3\sqrt2}{\sqrt{3\cdot2-2}} = \frac{3\sqrt2}{2} \approx 2.121320.$

6. 6

   Проверим другим путём — избавлением от иррациональности. Умножение на $\dfrac{\sqrt{3x-2}+2}{\sqrt{3x-2}+2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt x+\sqrt2}$ превращает дробь в $\dfrac{3(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac{\sqrt x+\sqrt2}{\sqrt{3x-2}+2}$, что при $x=2$ даёт $3\cdot\dfrac{2\sqrt2}{4} = \dfrac{3\sqrt2}{2}$ — то же значение. Подстановка $x=2.000001$ в исходное выражение даёт $2.1213202$, что подтверждает ответ численно.