Вычислить неопределённый интеграл e^x/x по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем стандартные методы — и убеждаемся, что они не работают. Подстановка требует, чтобы производная внутренней функции встречалась в качестве множителя, но ни при $u=x$, ни при $u=e^x$ не появляется нужный множитель $\tfrac1x$. Интегрирование по частям только усложняет выражение: если взять $u=e^x$, $dv=\tfrac{dx}{x}$, получится $e^x\ln x-\int e^x\ln x\,dx$, что только усложняет задачу. Это не неудача, а признак особого случая.

2. 2

   Формулируем итог. Согласно теореме Лиувилля о элементарных интегралах, у $\dfrac{e^x}{x}$ нет элементарной первообразной — никакая конечная комбинация многочленов, показательных, логарифмических, тригонометрических функций и корней не даст такую производную. Первообразная обозначается так:

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C$

3. 3

   Даем определение экспоненциального интеграла. Одно из стандартных определений:

   $\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt$

   Интеграл берётся в смысле главного значения Коши, так как подынтегральная функция расходится при $t=0$. По основной теореме анализа, производная этого выражения возвращает подынтегральную функцию:

   $\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^x}{x}$

   что и требуется для первообразной.

4. 4

   Если нужна формула — существует разложение в ряд. Раскладывая $e^x=\sum_{n\ge0}\tfrac{x^n}{n!}$ и деля на $x$:

   $\frac{e^x}{x}=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{n!}$

   Интегрируя почленно, получаем

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\ln|x|+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C$

   Для $x>0$ это выражение совпадает с $\operatorname{Ei}(x)-\gamma$, где $\gamma\approx0.5772$ — постоянная Эйлера–Маскерони. На практике именно так вычисляют значения.

5. 5

   Сравним с интегралами, где всё работает. $\int e^x\,dx=e^x+C$ и $\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$ — оба элементарные; только их частное выходит за пределы элементарных функций. Аналогично, $\int e^{-x^2}dx$ и $\int\tfrac{\sin x}{x}dx$ тоже не выражаются через элементарные функции, а вот $\int xe^{x}dx$ — элементарный. Универсального правила нет, поэтому теорема Лиувилля так важна.

6. 6

   Проверим численно разложение в ряд. При $x=1$ усечённый ряд $\ln1+\sum_{n=1}^{20}\tfrac{1}{n\cdot n!}=1.31790$, а $\operatorname{Ei}(1)-\gamma=1.89512-0.57722=1.31790$ ✓ — значения совпадают, что подтверждает корректность почленного интегрирования.