Вычислить интеграл от –π/4 до 3π/4 от 1 делить на (3 cos³x + sin 2x + sin²x) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим, обращается ли знаменатель в нуль на данном промежутке. Обозначим $D(x) = 3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x$. Любая замена переменной (например, через половинный угол или подстановку Вейерштрасса) не имеет смысла, если $D(x)$ обращается в нуль внутри интервала — в этом случае интеграл не существует как определённый.

2. 2

   Вычислим значения $D(x)$ на концах и в середине интервала. $D\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx 0{,}5607>0$; $D(0)=3>0$; $D\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+1 = 1>0$; а вот $D\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx -1{,}5607<0$.

3. 3

   Применим теорему о промежуточном значении. Функция $D(x)$ непрерывна и меняет знак между $\tfrac{\pi}{2}$ и $\tfrac{3\pi}{4}$, значит, на этом промежутке есть такое $c$, что $D(c)=0$. Численно единственный нуль находится при $c \approx 1.9569768.$ Следовательно, подынтегральная функция $\tfrac{1}{D(x)}$ имеет бесконечный разрыв строго внутри интервала интегрирования.

4. 4

   Проверим, что этот нуль — простой. $D'(c) \approx -3.3131 \neq 0$, значит, в окрестности $c$ разложение Тейлора даёт $D(x) \approx D'(c)(x-c)$, и тогда $\frac{1}{D(x)} \approx \frac{1}{D'(c)}\cdot\frac{1}{x-c}.$ Простой нуль (а не двойной) — наихудший случай для сходимости интеграла.

5. 5

   Сравним с модельным интегралом $1/(x-c)$. $\displaystyle\int\frac{dx}{x-c} = \ln|x-c|$, который стремится к $-\infty$ при $x\to c$. Оба односторонних несобственных интеграла расходятся (к $-\infty$ и $+\infty$), так что даже вычитание главного значения не даст конечного результата для обычного интеграла.

6. 6

   Делаем вывод. Интеграл $\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x}$ расходится; конечного значения не имеет. Только главное значение по Коши при $x=c$ могло бы быть конечным, но это нужно оговаривать отдельно.