Найти предел 1 / x² при x, стремящемся к минус бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что чётная степень стирает знак. Для любого $x\neq 0$ верно $x^2>0$, поэтому неважно, уходит ли $x$ в $+\infty$ или в $-\infty$: знаменатель в обоих случаях положителен. Именно поэтому этот предел и предел при $+\infty$ обязаны совпасть.

2. 2

   Убедимся, что знаменатель растёт неограниченно. Так как $x^2=|x|^2$ и $|x|\to\infty$ при $x\to-\infty$,

   $x^2\to+\infty$

3. 3

   Применим правило «постоянная делится на неограниченно растущее». Числитель остаётся равным $1$, а знаменатель превосходит любую границу, поэтому частное зажимается к нулю:

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   Строго говоря, для любого $\varepsilon>0$ выполнено $1/x^2<\varepsilon$, как только $|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$ — это и есть формальная запись предела.

4. 4

   Проверим числами. При $x=-10$: $1/100=0.01$. При $x=-100$: $1/10000=0.0001$. При $x=-1000$: $10^{-6}$. Значения уменьшаются к $0$ и всё время остаются положительными.

5. 5

   Запишем ответ и укажем сторону приближения. Предел равен $0$, причём приближение идёт сверху — функция нигде не отрицательна, поэтому график прижимается к оси $x$ сверху. Тот же довод даёт $\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$ для любого $n>0$.