Вычислить предел tan(2x)/sin(3x) при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=0$ и $\tan 2x$, и $\sin 3x$ обращаются в ноль, поэтому получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Преобразуем тангенс. Используем равенство $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$, тогда выражение превращается в $\frac{\sin 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}$. Косинус в знаменателе не мешает, так как $\cos 0=1\neq 0$.

3. 3

   Разделим числитель и знаменатель на $x$. Получаем $\frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\cos 2x\cdot\frac{\sin 3x}{x}}$, то есть все тригонометрические функции теперь имеют стандартный вид $\frac{\sin kx}{x}$.

4. 4

   Применим стандартный предел. По формуле $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$ числитель стремится к $2$, а множитель $\frac{\sin 3x}{x}$ в знаменателе — к $3$, при этом $\cos 2x\to 1$.

5. 5

   Объединяем результаты. Предел равен $\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3}$.

6. 6

   Проверим численно. При $x=10^{-6}$ исходное выражение даёт $0.66666667$, что совпадает с $\frac{2}{3}$.