Вычислить неопределённый интеграл x² · sin(x) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор $u$ для понижения степени многочлена при дифференцировании. В формуле $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ цель — получить более простой интеграл после применения метода. Если взять $u=x^{2}$, то $du=2x\,dx$, и степень многочлена понижается с $2$ до $1$; если бы взять $u=\sin x$, степень многочлена только возросла бы, что усложнило бы задачу. Здесь работает правило ЛИАТЕ — дифференцировать следует алгебраический множитель.

2. 2

   Первое применение метода по частям. Пусть $u=x^{2}$, $dv=\sin x\,dx$ (тогда $v=-\cos x$):

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   Два минуса — один от $v=-\cos x$, другой из формулы — дают плюс, на этом этапе часто допускают ошибку со знаком.

3. 3

   Второе применение метода по частям к оставшемуся интегралу. Для $\int x\cos x\,dx$ берём $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=\sin x$:

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   Теперь степень многочлена стала $0$, значит, процесс завершён — для многочлена степени $n$ метод по частям потребуется ровно $n$ раз.

4. 4

   Объединяем полученные части. Умножим второй результат на $2$ и подставим:

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

5. 5

   Проверка дифференцированием. Применим правило произведения к каждому слагаемому:

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   Складывая: пара $\mp2x\cos x$ сокращается, пара $\pm2\sin x$ тоже, остаётся ровно $x^{2}\sin x$ — верно. Проверка на $x=1{,}3$ даёт $1{,}6284133$ в обоих случаях — совпадает.