Пусть C — множество точек, для которых x² + y² не меньше z², а x² + y² + z² не больше 4. Найти объём C в сферических координатах.

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем обе поверхности. Уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ задаёт сферу радиуса $2$, а $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ — двойной конус с вершиной в начале координат и половинным углом $45^\circ$. Искомая область — часть шара вне конуса: шар, из которого сверху и снизу вынули по «стаканчику мороженого».

2. 2

   Переводим оба условия в сферические координаты. При $x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$:

   $x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\phi,\qquad z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\phi,$

   поэтому условие $x^{2}+y^{2}\ge z^{2}$ превращается в $\sin^{2}\phi\ge\cos^{2}\phi$, то есть $\tan^{2}\phi\ge 1$, то есть

   $\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{3\pi}{4}.$

   Условие сферы записывается просто как $\rho\le 2$. Вот почему сферические координаты здесь и есть правильный выбор: обе поверхности становятся координатными пределами.

3. 3

   Записываем интеграл с правильным якобианом. Элемент объёма равен $dV=\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$:

   $V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

   Все пределы постоянны, поэтому тройной интеграл распадается на три отдельных одномерных.

4. 4

   Вычисляем каждый сомножитель.

   $\int_{0}^{2}\rho^{2}d\rho=\frac{8}{3},\qquad \int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin\phi\,d\phi=\left[-\cos\phi\right]_{\pi/4}^{3\pi/4}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2,\qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.$

5. 5

   Перемножаем три результата.

   $V=\frac{8}{3}\cdot\sqrt2\cdot 2\pi=\frac{16\sqrt2\,\pi}{3}\approx 23.695.$

6. 6

   Сверяемся с объёмом всего шара. Полный шар радиуса $2$ имеет объём $\tfrac{4}{3}\pi(8)=\tfrac{32\pi}{3}\approx 33.51$, значит область сохраняет долю $\tfrac{16\sqrt2/3}{32/3}=\tfrac{\sqrt2}{2}\approx 70.7\%$ от него. Удаление двух конусов с половинным углом $45^\circ$ должно откусывать заметную, но всё же меньшую часть, поэтому оставшиеся $70.7\%$ — ровно тот порядок величины, которого и следует ожидать.