Решите с помощью преобразования Лапласа интегро-дифференциальное уравнение y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ) sin(t − τ) dτ = 1 при начальном условии y(0) = −1.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим интеграл как свёртку. Интеграл имеет вид $\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t)$, где $g(t)=\sin t$. Поэтому преобразование Лапласа здесь удобно: по теореме о свёртке, $\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s)$, то есть сложный интеграл превращается в обычное произведение. Так как $\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}$, интегральное слагаемое переходит в $\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}$.

2. 2

   Преобразуем всё уравнение. Используем $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$, где $y(0)=-1$, и $\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s$:

   $sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.$

3. 3

   Решим уравнение относительно $Y(s)$. Приведём слагаемые с $Y$ к общему знаменателю и перенесём константу вправо:

   $Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.$

   Кубический многочлен раскладывается как $s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2)$, а $1-s=-(s-1)$, поэтому $(s-1)$ сокращается — это подтверждает правильность преобразований:

   $Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.$

4. 4

   Разложим на простейшие дроби. Представим $\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2}$. Приведение к общему знаменателю даёт $(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1$, откуда $2A=1$, $A+C=0$, $A+B=1$, то есть $A=\tfrac12$, $B=\tfrac12$, $C=-\tfrac12$. Значит,

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.$

5. 5

   Дополнительно выделим полный квадрат для применения теоремы о сдвиге. Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни, поэтому удобно записать $s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74$, а числитель $s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32$:

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.$

6. 6

   Выполним обратное преобразование по частям. Полученные три слагаемых соответствуют преобразованиям Лапласа для постоянной, затухающего косинуса и затухающего синуса (для последнего нужен множитель $\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7}$, поэтому $\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7}$):

   $y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).$

7. 7

   Проверим решение. При $t=0$ слагаемое с синусом обнуляется, и $y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1$, что совпадает с начальными условиями. Подстановка найденного выражения и вычисление $y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau$ при разных $t$ даёт $1.000000$ — значит, найденное решение удовлетворяет исходному уравнению и начальному условию.