Для y = 2cos(x) укажите область определения и найдите производную.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим область определения. Функция косинуса определена при любом действительном $x$ — нет ни деления, ни чётного корня, ни логарифма, которые могли бы наложить ограничения, — а умножение на $2$ ничего не меняет. Следовательно,

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}$

2. 2

   Вынесем константу за знак производной. По правилу выноса константы: $\dfrac{d}{dx}\left[cf(x)\right]=c\,f'(x)$, поэтому $2$ просто выносится вперёд:

   $y'=2\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos x\right)$

3. 3

   Дифференцируем косинус. Стандартная производная косинуса содержит минус:

   $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

   Потеря этого минуса — самая частая ошибка при дифференцировании тригонометрических функций. (Аргумент — просто $x$, поэтому множитель по правилу цепочки не появляется.)

4. 4

   Объединяем результаты.

   $y'=2(-\sin x)=-2\sin x$

5. 5

   Проверим численно и структурно. Центральная разность с $h=10^{-6}$ совпадает с $-2\sin x$ при $x=0.3$, $1.4$ и $2.9$ с точностью до $10^{-6}$ ✓. Структурно: $y=2\cos x$ достигает максимумов при $x=0,2\pi,\ldots$, минимумов при $x=\pi,\ldots$, и действительно $y'=-2\sin x$ обращается в нуль ровно при каждом кратном $\pi$ ✓. Множество значений $y'$ — $[-2,2]$, то есть наибольшие угловые коэффициенты графика равны $\pm2$ и достигаются при $x=\tfrac{\pi}{2}$ и $\tfrac{3\pi}{2}$.