Дифференцируема ли дилогарифм Li₂(x) при x = 1? Обоснуйте ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, определена ли функция при $x=1$. Радиус сходимости данного ряда равен $1$, и при $x=1$ он превращается в сходящийся $p$-ряд с $p=2$:

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   Таким образом, функция определена в этой точке, а по теореме Абеля она также непрерывна слева. Однако дифференцируемость — более сильное требование.

2. 2

   Продифференцируем ряд внутри круга сходимости. Для $|x|<1$ допускается почленное дифференцирование:

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   Внутренняя сумма — это ряд Меркатора $-\ln(1-x)$, поэтому

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   Численная проверка при $x=0.99$: центральная разность для ряда даёт $4.651687$, а $-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$ ✓.

3. 3

   Исследуем поведение производной при $x\to1^{-}$. При стремлении $x$ к $1$ слева, $1-x\to0^{+}$, поэтому $\ln(1-x)\to-\infty$, а значит

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   Угол наклона графика неограниченно возрастает: при $x=0.9$ он равен $2.56$, при $x=0.99$ — $4.65$, при $x=0.999$ — $6.91$; рост идёт как $\ln\frac{1}{1-x}$, медленно, но без предела.

4. 4

   Сделаем вывод по определению производной. Так как $\operatorname{Li}_{2}$ дифференцируема на $(0,1)$, а производная стремится к $+\infty$, по теореме Лагранжа разностное отношение $\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$ также расходится. Следовательно, левосторонняя производная равна $+\infty$ и конечной производной не существует:

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ непрерывна, но не дифференцируема в точке }x=1.$

   Геометрически это означает вертикальную касательную в данной точке.

5. 5

   Посмотрим на локальное разложение. По тождеству Ландена $\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$, при $y=1-x\to0^{+}$ получаем

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   Численно при $y=0.001$: разложение даёт $1.63702631$, а точное значение $1.63702261$ ✓. Именно слагаемое $y\ln y$ портит гладкость — его производная $\ln y+1$ расходится, что подтверждает отсутствие дифференцируемости и с этой стороны.