Вычислите тройной интеграл от x²y² по телу внутри параболоида x² + y² = 2z между плоскостями z = 2 и z = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Опишем тело в цилиндрических координатах. Поверхность $x^2+y^2=2z$ — это параболоид, раскрытый вверх: $z=\tfrac{r^2}{2}$. «Внутри параболоида» означает $r^2\le 2z$, поэтому горизонтальное сечение на высоте $z$ — круг радиуса $\sqrt{2z}$:

   $2\le z\le 8,\qquad 0\le r\le \sqrt{2z},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$

   Именно разбиение по $z$ (а не интегрирование по $z$ последним) сохраняет пределы простыми: каждое сечение — полный круг.

2. 2

   Преобразуем подынтегральную функцию и элемент объёма. При $x=r\cos\theta$ и $y=r\sin\theta$

   $x^2y^2=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   так что суммарная степень $r$ становится пятой:

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\cos^2\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta\,dz$

   Потерять якобиан $r$ — самая частая ошибка: тогда здесь осталось бы $r^4$.

3. 3

   Отделим угловой множитель. Пределы не зависят от $\theta$, поэтому тройной интеграл распадается в произведение интеграла по $\theta$ и интеграла по $(r,z)$. Пользуясь тем, что $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$:

   $\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1-\cos 4\theta}{8}$

   $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\left[\theta-\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

4. 4

   Возьмём интеграл по радиусу, затем по $z$. При фиксированном $z$

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\,dr=\frac{(2z)^3}{6}=\frac{8z^3}{6}=\frac{4z^3}{3}$

   Интегрируя это по $2\le z\le 8$:

   $\int_2^8 \frac{4z^3}{3}\,dz=\frac{4}{3}\left[\frac{z^4}{4}\right]_2^8=\frac{1}{3}\left(4096-16\right)=1360$

5. 5

   Перемножим множители и оценим правдоподобность результата.

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=1360\cdot\frac{\pi}{4}=340\pi\approx 1068.1$

   Знак верен: подынтегральная функция $x^2y^2$ неотрицательна, поэтому ответ обязан быть положительным. Грубая оценка тоже подтверждает порядок величины: тело лежит внутри цилиндра радиуса $4$ и высоты $6$, где $x^2y^2\le r^4/4\le 64$, что даёт верхнюю границу около $64\cdot\pi\cdot 16\cdot 6\approx 19300$ — заметно больше, чем $340\pi$.