Изобразите область R, ограниченную y = x², y = 2 - x, x = 0 и x = 1, затем вычислите двойной интеграл x² + y² по R сначала по y, затем по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала опишем область до записи пределов интегрирования. На полосе $0\le x\le 1$ сравним две кривые. При $x=0$ получаем $y=0$ и $y=2$; при $x=1$ — $y=1$ и $y=1$. Так как $2-x-x^2=(2+x)(1-x)\ge 0$ на $[0,1]$, парабола всегда является нижней границей, а прямая — верхней, они пересекаются только в точке $(1,1)$.

2. 2

   Запишем повторный интеграл в порядке $dy\,dx$. Вертикальный срез при каждом $x$ проходит от одной кривой до другой без разбиения области:

   $I=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx.$

3. 3

   Выполним внутренний интеграл, считая $x$ постоянной:

   $\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x}$

   $=x^{2}\left(2-x-x^{2}\right)+\frac{(2-x)^{3}-x^{6}}{3}.$

4. 4

   Раскроем скобки и приведём к одному многочлену по $x$. Используем $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$:

   $=2x^{2}-x^{3}-x^{4}+\frac{8-12x+6x^{2}-x^{3}-x^{6}}{3}=\frac{8}{3}-4x+4x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.$

5. 5

   Проинтегрируем по $x$ от 0 до 1 поочерёдно каждое слагаемое:

   $I=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.$

   Приведём к общему знаменателю $105$:

   $I=\frac{280-210+140-35-21-5}{105}=\frac{149}{105}.$

6. 6

   Проверим разумность ответа. Площадь области равна $\int_0^1(2-x-x^2)dx=2-\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76\approx1{,}167$, а $x^2+y^2$ на ней принимает значения от $0$ до $4$, так что среднее значение около $\tfrac{149/105}{7/6}\approx1{,}22$ выглядит правдоподобно. Монте-Карло по той же области даёт $1{,}4195$, что совпадает с $149/105\approx1{,}4190$.