Решите дифференциальное уравнение y'' + y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставляем пробное экспоненциальное решение $y=e^{rx}$. Тогда $y''=r^2e^{rx}$, и уравнение принимает вид

   $r^2e^{rx}+e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+1\right)=0$

2. 2

   Выписываем характеристическое уравнение. Так как $e^{rx}\neq 0$ при всех действительных $x$:

   $r^2+1=0\quad\Longrightarrow\quad r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i$

3. 3

   Записываем действительное общее решение. При $\alpha=0$ и $\beta=1$ в шаблоне $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$ получаем:

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

   Две произвольные постоянные — ровно столько, сколько нужно уравнению второго порядка; они определяются двумя начальными условиями, например $y(0)$ и $y'(0)$.

4. 4

   Проверяем оба базисных решения. Для $y=\cos x$: $y''=-\cos x$, поэтому $y''+y=0$ $\checkmark$. Для $y=\sin x$: $y''=-\sin x$, и снова $0$ $\checkmark$.

5. 5

   Сравниваем с $y''+4y=0$. Там $r=\pm 2i$ и решения выражаются через $\cos 2x,\sin 2x$: коэффициент при $y$ — это квадрат угловой частоты, так что $y''+\omega^2y=0$ колеблется с частотой $\omega$. Здесь $\omega=1$, а период равен $2\pi$.