Основание тела — фигура в первой четверти, ограниченная осью x, осью y, кривой y = eˣ и вертикальной прямой x = 3. Каждое сечение, перпендикулярное оси x, — квадрат. Найдите объём тела.

Step-by-step solution

1. 1

   Читаем основание по одному вертикальному срезу. В задачах на объём по площадям сечений форма тела целиком никогда не нужна — нужен лишь размер одного среза. Зафиксируем $x$ между $0$ и $3$ и разрежем основание вертикально. Снизу основание ограничено осью $x$ ($y=0$), сверху — кривой $y=e^{x}$, поэтому длина среза равна

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   Ось $y$ и прямая $x=3$ лишь указывают, где резка начинается и где заканчивается: $0\le x\le 3$.

2. 2

   Превращаем длину среза в площадь сечения. Сечение, стоящее на этом срезе, — квадрат, а сам срез служит его полной стороной. Значит, сторона равна $s=e^{x}$, а площадь сечения

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   Именно правило $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ делает интеграл элементарным, поэтому возводить в квадрат надо до интегрирования, а не после.

3. 3

   Составляем интеграл для объёма. Складывая слои площади $A(x)$ и толщины $dx$ от $x=0$ до $x=3$, получаем

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

4. 4

   Интегрируем. С заменой $u=2x$ (или просто узнав шаблон) находим $\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$: при дифференцировании $\tfrac12 e^{2x}$ множитель $2$ возвращается на место:

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

5. 5

   Вычисляем и проверяем правдоподобие. Так как $e^{0}=1$,

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   Быстрая прикидка: наибольшее сечение (при $x=3$) имеет площадь $e^{6}\approx 403.4$, наименьшее (при $x=0$) — площадь $1$, поэтому объём около $201$ на длине $3$ — правильный порядок величины: площади растут так быстро, что почти весь объём сосредоточен около $x=3$. Численное интегрирование $e^{2x}$ на $[0,3]$ даёт $201.21440$, что совпадает с точным значением.