Вычислите предел (2x² + x – 3)/|x – 1| при x, стремящемся к 1, или докажите, что он не существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид неопределённости. При $x=1$ числитель равен $2+1-3=0$, знаменатель — $|0|=0$, то есть выражение принимает вид $\tfrac00$, и простая подстановка не даёт ответа. В отличие от случая, когда тот же числитель подставляется при $x=-2$, здесь точка предела совпадает с нулём под знаком модуля, поэтому результат будет принципиально иным.

2. 2

   Разложим числитель на множители через группировку. В выражении $2x^{2}+x-3$ подбираются два числа, произведение которых равно $2\times(-3)=-6$, а сумма — $1$: это $3$ и $-2$. Тогда

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   Множитель $(x-1)$ совпадает с выражением под знаком модуля, что и делает необходимым рассмотрение односторонних пределов.

3. 3

   Вычислим левосторонний предел. При $x<1$ выполняется $x-1<0$, значит $|x-1|=-(x-1)$, и

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   Следовательно, $\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$.

4. 4

   Вычислим правосторонний предел. При $x>1$ имеем $x-1>0$, поэтому $|x-1|=x-1$, и

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   Значит, $\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$. Обратите внимание: знак результата противоположен предыдущему случаю — сторона, на которой числитель положителен, поменялась.

5. 5

   Делаем вывод. Так как $-5\ne5$, двусторонний предел не существует; функция испытывает скачок высотой $10$ в точке $x=1$. Для сравнения: $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$, где знаменатель не обращается в ноль, и предел просто равен $\tfrac33=1$. Вывод: модуль в знаменателе создаёт проблему только тогда, когда его аргумент обращается в ноль в рассматриваемой точке.