Вычислите определённый интеграл от x = -2 до x = 2 выражения (x² cos(x/2) + 1/2) умножить на √(4 - x²) и укажите численное значение.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим интеграл по знаку плюс. Эти два слагаемых ведут себя совершенно по-разному:

   $I=\underbrace{\int_{-2}^{2}x^{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx}_{J}+\frac12\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

   Такое разложение позволяет отдельно рассмотреть элементарную площадь и интеграл со специальной функцией.

2. 2

   Вычислим простую часть геометрически. График $y=\sqrt{4-x^{2}}$ на $[-2,2]$ — это верхняя полукруга радиуса $2$, поэтому

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{\pi(2)^{2}}{2}=2\pi,\qquad \frac12(2\pi)=\pi.$

3. 3

   Рассмотрим $J$ как момент Бесселя. По интегралу Пуассона для $z=ab$:

   $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\cos(bx)\,dx=\frac{\pi a}{b}J_{1}(ab).$

   Дважды продифференцировав по $b$, получаем множитель $-x^{2}$, а при $a=2$, $b=\tfrac12$, $z=1$ и используя тождества $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}J_{1}\bigr)=-z^{-1}J_{2}$ и $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}J_{2}\bigr)=-z^{-2}J_{3}$,

   $J=\pi a^{4}\left(\frac{J_{2}(z)}{z^{2}}-\frac{J_{3}(z)}{z}\right)=16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr).$

4. 4

   Упростим с помощью рекуррентного соотношения. Так как $J_{3}(1)=4J_{2}(1)-J_{1}(1)$, то выражение можно переписать так:

   $J=16\pi\bigl(J_{1}(1)-3J_{2}(1)\bigr).$

   При $J_{1}(1)=0.4400506$ и $J_{2}(1)=0.1149035$ получаем $J=16\pi(0.0953401)=4.7923177$.

5. 5

   Сложим обе части.

   $I=\pi+16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr)=3.1415927+4.7923177=7.9339103.$

   Численное интегрирование исходного выражения даёт $7.933910333308135$, что совпадает до пятнадцатого знака. Частая ошибка — использовать $J=8\pi J_{2}(1)-4\pi J_{1}(1)$, что даёт $-2.6420$ и $I\approx 0.4996$ — неверный знак и масштаб, так как эта комбинация не соответствует второму $b$-производному формулы Пуассона.