Найти предел ln(n)/n² при n стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим неопределённость. При $n\to\infty$ как $\ln n\to\infty$, так и $n^{2}\to\infty$, поэтому выражение имеет вид $\infty/\infty$. Такой вид не даёт автоматического ответа — результат зависит от того, какая часть растёт быстрее, поэтому потребуется инструмент сравнения, а не простая подстановка.

2. 2

   Применим правило Лопиталя один раз. Рассматривая $n$ как непрерывную переменную, продифференцируем числитель и знаменатель по отдельности:

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   Одного применения достаточно, так как производная $\ln n$ полностью уничтожает логарифм, а в знаменателе остаётся степень.

3. 3

   Проверим порядок роста. Полученный результат — частный случай общего факта: $\ln n$ растёт медленнее, чем $n^{p}$ для любого $p>0$, поэтому $\ln n/n^{p}\to0$ всегда. Например, $\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$ — уже практически ноль ✓.

4. 4

   Найдём максимум, чтобы не спутать убывание с монотонностью. Для $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$ по правилу произведения получаем

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   Производная обращается в ноль при $\ln n=\tfrac12$, то есть $n=\sqrt{e}\approx1{,}6487$. Значит, $f$ сначала растёт до $n\approx1{,}65$, а затем убывает к $0$. Численная производная подтверждает формулу при $n=2,5,9$ с точностью до $10^{-6}$ ✓.

5. 5

   Уточним, что предел означает — и чего не гарантирует — для ряда. Тот факт, что члены стремятся к нулю, необходим, но недостаточен для сходимости. Здесь сходимость есть по сравнению: для больших $n$ верно $\ln n<n^{1/2}$, значит $\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$, а $\sum n^{-3/2}$ — сходящийся $p$-ряд при $p=3/2>1$.

   Сумма ряда равна $-\zeta'(2)\approx0{,}93755$; сумма первых двух миллионов членов даёт $0{,}9375405$ ✓.