Вычислить предел (x² − x − 6)/|x + 2| при x, стремящемся к −2, или доказать, что он не существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем вид неопределённости и раскладываем числитель на множители. Подстановка $x=-2$ даёт $\frac{4+2-6}{0}=\frac{0}{0}$ — неопределённость. Разложим числитель:

   $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),$

   и выражение принимает вид $\dfrac{(x-3)(x+2)}{|x+2|}$. Множитель $(x+2)$ стоит и сверху, и — под модулем — снизу: это верный признак того, что нужен односторонний анализ.

2. 2

   Понимаем, почему модуль запрещает сократить сразу. При $t\ne0$ величина $\frac{t}{|t|}$ равна $+1$ при $t>0$ и $-1$ при $t<0$. Здесь $t=x+2$ меняет знак ровно в предельной точке, поэтому частное скачет между $+1$ и $-1$, как близко к $-2$ ни подходи. Значит, стороны надо разобрать по отдельности.

3. 3

   Вычисляем левый предел. При $x<-2$ имеем $x+2<0$, значит $|x+2|=-(x+2)$ и

   $\frac{(x-3)(x+2)}{-(x+2)}=-(x-3)=3-x\ \longrightarrow\ 3-(-2)=5.$

   Итак, $\displaystyle\lim_{x\to-2^{-}}=5$.

4. 4

   Вычисляем правый предел. При $x>-2$ имеем $x+2>0$, значит $|x+2|=x+2$ и

   $\frac{(x-3)(x+2)}{x+2}=x-3\ \longrightarrow\ -2-3=-5.$

   Итак, $\displaystyle\lim_{x\to-2^{+}}=-5$.

5. 5

   Делаем вывод и проверяем численно. Так как $5\ne-5$, односторонние пределы различны, и двусторонний предел не существует. Численно: при $x=-2.001$ частное равно $5.001$, а при $x=-1.999$ равно $-4.999$ ✓ — у графика в точке $x=-2$ скачок высоты $10$. Если бы в знаменателе стояло $x+2$ без модуля, предел существовал бы и равнялся $-5$.