Вычислить двойной интеграл от x² − 8y по прямоугольнику, где x меняется от −2 до −1, а y — от 0 до 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Отмечаем простейший случай. Область $D$ — прямоугольник, поэтому оба предела постоянны и порядок интегрирования не важен. Возьмём сначала $x$:

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

2. 2

   Интегрируем по $x$, считая $y$ постоянным.

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

3. 3

   Подставляем пределы по $x$. При $x=-1$: $-\tfrac{1}{3}+8y$. При $x=-2$: $-\tfrac{8}{3}+16y$. Вычитая, получаем

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   Отрицательные значения $x$ — обычное место потери знака: заметим, что $(-2)^3 = -8$, а не $8$.

4. 4

   Интегрируем полученное выражение по $y$ от $0$ до $1$.

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$