Вычислить интеграл 1/(2 + 2x²)² от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вынесем множитель за скобки. Так как $2+2x^2=2(1+x^2)$,

   $\left(2+2x^2\right)^{2}=4\left(1+x^2\right)^{2}\ \Longrightarrow\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(2+2x^2\right)^2}=\frac14\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\left(1+x^2\right)^{2}}$

   Это удобно сделать до подстановки, чтобы сохранить стандартный вид интеграла.

2. 2

   Проверим сходимость несобственного интеграла. При больших $|x|$ подынтегральная функция ведёт себя как $x^{-4}$, а $\int^{\infty}x^{-4}\,dx$ сходится, значит, оба хвоста конечны и значение интеграла определено.

3. 3

   Выполним подстановку $x=\tan\theta$. Тогда $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ и $1+x^2=\sec^2\theta$, поэтому

   $\int\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\int\frac{\sec^2\theta}{\sec^4\theta}\,d\theta=\int\cos^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}$

4. 4

   Поставим пределы интегрирования по всей прямой. При $x$ от $-\infty$ до $\infty$ переменная $\theta$ пробегает от $-\tfrac\pi2$ до $\tfrac\pi2$, а $\sin 2\theta$ обращается в ноль на концах:

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$

5. 5

   Умножим на вынесенный множитель.

   $\frac14\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}\approx 0.3926991$

6. 6

   Проверим численно. Использование метода средних прямоугольников на $[-2000,2000]$ с четырьмя миллионами разбиений даёт $0.39269908168$, а $\pi/8=0.39269908170$ — совпадение до десяти знаков после запятой, и вклад хвостов за пределами $\pm 2000$ меньше $10^{-9}$.