Вычислить интеграл (e^x sin y - xy) dx + (xy + e^x cos y) dy вдоль правой полуокружности x² + y² = 4, проходя в направлении возрастания y.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим путь и его концы. Правая полуокружность $x^2+y^2=4$ соединяет точки $(0,-2)$ и $(0,2)$ через $(2,0)$. Поскольку $y$ возрастает, движение идёт от $(0,-2)$ к $(0,2)$. Это важно, так как часть подынтегрального выражения окажется независимой от пути и будет зависеть только от концов.

2. 2

   Проверим на полный дифференциал до параметризации. Пусть $P=e^x\sin y-xy$, $Q=xy+e^x\cos y$.

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   Эти выражения не совпадают, значит, поле не является потенциальным, и интеграл зависит от пути. Однако различие только в слагаемых $-xy$ и $xy$.

3. 3

   Выделим полный дифференциал. Заметим, что

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   то есть эти два слагаемых образуют полный дифференциал и их вклад определяется только концами:

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

4. 4

   Параметризуем оставшуюся часть. Для $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$ введём $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, где $t$ изменяется от $-\tfrac{\pi}{2}$ до $\tfrac{\pi}{2}$ (это обеспечивает $x\ge 0$ и возрастание $y$). Тогда $dx=-2\sin t\,dt$, $dy=2\cos t\,dt$, $xy=4\sin t\cos t$:

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

5. 5

   Используем симметрию и замену переменной. $\sin t\cos^2 t$ — нечётная функция на симметричном промежутке, поэтому её интеграл равен $0$. Для другого слагаемого подставим $u=\sin t$:

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

6. 6

   Складываем оба вклада. Значение криволинейного интеграла:

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   что совпадает с численным значением параметризованного интеграла с точностью до пяти знаков.