Вычислить интеграл sin²(x)·cos³(x) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем нечетную степень. Косинус стоит в нечетной степени $3$. Если один из множителей тригонометрической функции имеет нечетную степень, можно выделить из него дифференциал для подстановки — формула понижения степени не требуется.

2. 2

   Выделяем один косинус. Представим $\cos^3 x=\cos^2 x\cdot\cos x$, тогда интеграл переписывается как $\int\sin^2 x\,\cos^2 x\,\cos x\,dx$.

3. 3

   Преобразуем четную часть. По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2 x=1-\sin^2 x$, получаем подынтегральное выражение $\int\sin^2 x\left(1-\sin^2 x\right)\cos x\,dx$. Теперь всё выражено через $\sin x$ и множитель $\cos x\,dx$.

4. 4

   Делаем подстановку $u=\sin x$. Тогда $du=\cos x\,dx$, и интеграл сводится к многочлену: $\int u^2\left(1-u^2\right)du=\int\left(u^2-u^4\right)du$.

5. 5

   Интегрируем и возвращаемся к x. Получаем $\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3 x}{3}-\frac{\sin^5 x}{5}+C$.

6. 6

   Проверяем численно. Значение найденной первообразной на промежутке от $0$ до $1$ — $0.11423043$, а по формуле Симпсона для исходного подынтегрального выражения на том же интервале также получаем $0.11423043$ — результаты совпадают.