Вычислить интеграл по y от 0 до √3/2, по x от 1–√(1–y²) до √(1–y²), от x+xy dx dy.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разберёмся с областью интегрирования. Внешний предел $x=\sqrt{1-y^2}$ задаёт правую половину единичной окружности с центром в начале координат; внутренний предел $x=1-\sqrt{1-y^2}$ — это левая дуга единичной окружности с центром в точке $(1,0)$. Таким образом, область интегрирования — горизонтальная полоска между двумя дугами окружностей, при $y$ от $0$ до $\tfrac{\sqrt3}{2}$.

2. 2

   Вынесем множители, не зависящие от $x$, и упростим подынтегральную функцию. $x+xy = x(1+y)$, причём $1+y$ не зависит от $x$. Получаем: $I = \int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x\,dx\right)dy.$

3. 3

   Выполним внутренний интеграл, используя разность квадратов. Обозначим $a=\sqrt{1-y^2}$, тогда $\int_{1-a}^{a} x\,dx = \frac{a^2-(1-a)^2}{2} = \frac{2a-1}{2} = a-\frac12 = \sqrt{1-y^2}-\frac12.$ Здесь раскрытие скобок в $(1-a)^2$ и сокращение $a^2$ приводит к простому выражению.

4. 4

   Разобьём оставшийся интеграл на три части. $I = \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_1} + \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2} y\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_2} - \underbrace{\frac12\int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\,dy}_{B}.$

5. 5

   Вычислим каждую из трёх частей. Для $A_1$ используется стандартная первообразная $\tfrac12\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right)$; при $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ получаем $\tfrac{\sqrt3}{8}+\tfrac{\pi}{6}$. Для $A_2$ подставим $u=1-y^2$: $-\tfrac13(1-y^2)^{3/2}$ на отрезке от $0$ до $\tfrac{\sqrt3}{2}$ даёт $\tfrac13-\tfrac{1}{24}=\tfrac{7}{24}$. Для $B = \tfrac12\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac38\right) = \tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{3}{16}$.

6. 6

   Приведём подобные слагаемые. Термины с $\sqrt3$ дают $\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{4} = -\tfrac{\sqrt3}{8}$, рациональные части: $\tfrac{7}{24}-\tfrac{3}{16} = \tfrac{14-9}{48} = \tfrac{5}{48}$. Таким образом, $I = \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{5}{48} \approx 0.411259.$

7. 7

   Проверим результат численным интегрированием. Численно интегрируя функцию $(1+y)\left(\sqrt{1-y^2}-\tfrac12\right)$ по $[0,\tfrac{\sqrt3}{2}]$, получаем $0.4112590913$, что совпадает с аналитическим ответом до десяти знаков после запятой.