Найдите площадь S, ограниченную кривыми y² - 2y + x² = 0, y² - 4y + x² = 0, x = 0 и y = x·√3.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим обе кривые как окружности. Преобразуем уравнение $x^2+y^2-2y=0$ выделением полного квадрата: $x^2+(y-1)^2=1$ — это окружность радиуса $1$ с центром в точке $(0,1)$. Аналогично, $x^2+y^2-4y=0$ преобразуется в $x^2+(y-2)^2=4$ — окружность радиуса $2$ с центром в $(0,2)$. Обе проходят через начало координат и касаются оси $x$ в этой точке.

2. 2

   Переходим к полярным координатам. Подставляя $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, получаем $r^2-2r\sin\theta=0\Rightarrow r=2\sin\theta$, а также $r^2-4r\sin\theta=0\Rightarrow r=4\sin\theta$. Окружности, проходящие через начало координат, действительно имеют такой вид в полярных координатах, поэтому этот переход здесь удобен.

3. 3

   Запишем уравнения прямых через углы. Прямая $x=0$ соответствует лучу $\theta=\tfrac{\pi}{2}$. Прямая $y=x\sqrt3$ даёт $\tan\theta=\sqrt3$, то есть $\theta=\tfrac{\pi}{3}$. Значит, искомая область — это кольцевой сектор при $\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}$, $2\sin\theta\le r\le 4\sin\theta$.

4. 4

   Составим интеграл площади в полярных координатах. Получаем $S=\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi/2}\!\!\int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} r\,dr\,d\theta=\int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{(4\sin\theta)^2-(2\sin\theta)^2}{2}\,d\theta=6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$.

5. 5

   Используем формулу понижения степени. Известно, что $\sin^2\theta=\tfrac{1-\cos 2\theta}{2}$, поэтому $\displaystyle\int\sin^2\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}$.

6. 6

   Подставим пределы интегрирования. При $\theta=\tfrac{\pi}{2}$: $\tfrac{\pi}{4}-0=\tfrac{\pi}{4}$. При $\theta=\tfrac{\pi}{3}$: $\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sin(2\pi/3)}{4}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{8}$. Их разность равна $\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{8}$, и, умножая на $6$, получаем $S=\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}$.

7. 7

   Проверим численно. $\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{3\sqrt3}{4}=1.570796+1.299038=2.869834$, а численное интегрирование $6\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta$ также даёт $2.869834$, что совпадает до шести знаков после запятой.