Застряли на этом? Решите с помощью ИИ
Calculus · real student question

Найти ряд Маклорена для tanh(10⁻¹³x)/x вплоть до члена степени 10 включительно.

Question

Найти ряд Маклорена для

tanh⁡ ⁣(10−13x)x\frac{\tanh\!\left(10^{-13}x\right)}{x}

вплоть до члена степени 1010 включительно.

Step-by-step solution

  1. Начнём со стандартного разложения tanh⁡z\tanh z. Гиперболический тангенс — функция нечётная, поэтому в ряде Маклорена присутствуют только нечётные степени:

    tanh⁡z=z−z33+2z515−17z7315+62z92835−1382z11155925+⋯\tanh z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2z^{5}}{15}-\frac{17z^{7}}{315}+\frac{62z^{9}}{2835}-\frac{1382z^{11}}{155925}+\cdots

    Коэффициенты берутся из формулы tanh⁡z=∑n≥122n(22n−1)B2n(2n)!z2n−1\tanh z=\sum_{n\ge1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}, но для ответа до степени 1010 достаточно шести выписанных членов.

  2. Определим, до какого члена нужно раскрывать ряд до подстановки. Деление на xx уменьшает степень каждого члена на единицу, так что нечётная степень z2k+1z^{2k+1} перейдёт в чётную степень x2kx^{2k}. Чтобы получить члены до x10x^{10} включительно, потребуется раскрыть tanh⁡z\tanh z до z11z^{11} — на один член дальше, чем может показаться на первый взгляд. Именно на этом этапе чаще всего ошибаются.

  3. Подставим z=10−13xz=10^{-13}x. Каждый член zmz^{m} даст множитель 10−13m10^{-13m}:

    tanh⁡(10−13x)=10−13x−10−393x3+2⋅10−6515x5−17⋅10−91315x7+62⋅10−1172835x9−1382⋅10−143155925x11+⋯\tanh(10^{-13}x)=10^{-13}x-\frac{10^{-39}}{3}x^{3}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{5}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{7}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{9}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{11}+\cdots

  4. Разделим полученное на xx по членам. Степень каждого слагаемого уменьшится на 11, нечётные степени превратятся в чётные:

    tanh⁡(10−13x)x=10−13−10−393x2+2⋅10−6515x4−17⋅10−91315x6+62⋅10−1172835x8−1382⋅10−143155925x10+⋯\frac{\tanh(10^{-13}x)}{x}=10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+\cdots

    В ряде отсутствуют члены нечётных степеней, а устранимая особенность при x=0x=0 заменяется постоянным 10−1310^{-13}.

  5. Поясним, как влияет малый параметр. Каждый следующий член убывает примерно в 10−26x210^{-26}x^{2} раз, так что при ∣x∣|x| существенно меньше 101310^{13} функция практически неотличима от постоянной 10−1310^{-13}. Это и есть практический смысл разложения: ряд сходится при ∣10−13x∣<π/2|10^{-13}x|<\pi/2, то есть ∣x∣<1,5708×1013|x|<1{,}5708\times 10^{13} — именно там, где ближайшая особенность tanh⁡\tanh (точка z=iπ/2z=i\pi/2).

Answer

10−13−10−393x2+2⋅10−6515x4−17⋅10−91315x6+62⋅10−1172835x8−1382⋅10−143155925x10+O(x12)10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+O(x^{12})

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions