Для y = -½ sin(3,14/3 - x²) укажите область определения и найдите dy/dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала укажем область определения. Функция синуса определена при любых действительных значениях, а $\frac{3.14}{3}-x^{2}$ — это многочлен, который также определён при всех $x$. Следовательно, область определения — вся числовая прямая:

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}.$

   Число $3.14$ здесь — это десятичная константа (в русской записи $3{,}14$), а не $\pi$. Для дифференцирования это не имеет значения, но при численном решении уравнения $y=0$ разница будет существенна.

2. 2

   Выделим внутреннюю и внешнюю функции. Обозначим

   $u=\frac{3.14}{3}-x^{2},\qquad y=-\frac12\sin u.$

   Явное введение внутренней функции важно для применения правила цепочки; множитель $-\tfrac12$ просто сохраняется при дифференцировании.

3. 3

   Дифференцируем внешнюю функцию. Известно, что $\frac{d}{du}\sin u=\cos u$, значит

   $\frac{dy}{du}=-\frac12\cos u.$

   По правилу постоянного множителя $-\tfrac12$ проходит через производную без изменений.

4. 4

   Дифференцируем внутреннюю функцию и перемножаем. Константа $\frac{3.14}{3}$ при дифференцировании даёт $0$, поэтому

   $\frac{du}{dx}=-2x,$

   и по правилу цепочки

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(-\frac12\cos u\right)(-2x)=x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right).$

   Два минуса сокращаются, а $\tfrac12$ сокращается с $2$, поэтому в окончательном ответе коэффициент при $x$ равен $1$.

5. 5

   Проверим численно и отметим критические точки. При $x=1.1$ разностная производная $y$ даёт $1.0853598$, а $x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=1.0853598$ — совпадает. Производная обращается в ноль при $x=0$ или когда $\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=0$, то есть $x^{2}=\frac{3.14}{3}-\frac{\pi}{2}-k\pi$. Таким образом, $x=0$ всегда является критической точкой, а остальные точки определяются нулями косинуса.