Найти производную функции y = (x − 1)^x.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему обычные правила не работают. Правилу степени $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ нужен постоянный показатель, а правилу для показательной функции $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ — постоянное основание. Здесь же меняются и основание $x-1$, и показатель $x$, поэтому ни одно правило не применимо, а их смешение даёт бессмыслицу. Выход — логарифмическое дифференцирование.

2. 2

   Сначала указываем область определения. Чтобы $(x-1)^x$ имело смысл как действительная степень с переменным показателем, основание должно быть положительным:

   $x-1>0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x>1$

   Всё дальнейшее верно на $(1,\infty)$ — там же, где определён и $\ln(x-1)$.

3. 3

   Логарифмируем обе части по натуральному основанию. Логарифм превращает показатель в множитель, в чём и состоит весь приём:

   $\ln y=\ln\bigl((x-1)^x\bigr)=x\ln(x-1)$

   Справа теперь обычное произведение двух хорошо знакомых функций.

4. 4

   Дифференцируем обе части по $x$. Слева $y$ — функция от $x$, поэтому по правилу дифференцирования сложной функции получаем $\frac{1}{y}\,y'$ — здесь и вступает в дело неявное дифференцирование. Справа применяем правило произведения:

   $\frac{d}{dx}\bigl(x\ln(x-1)\bigr)=1\cdot\ln(x-1)+x\cdot\frac{1}{x-1}$

   отсюда

   $\frac{y'}{y}=\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}$

5. 5

   Выражаем $y'$ и возвращаем исходную функцию. Умножаем на $y$ и подставляем $y=(x-1)^x$:

   $\boxed{\,y'=(x-1)^x\left(\ln(x-1)+\frac{x}{x-1}\right)\,}$

   Ответ обязательно содержит исходное выражение множителем — это характерная черта логарифмического дифференцирования, а потерянный впереди $(x-1)^x$ — типичная ошибка.

6. 6

   Проверяем численно. При $x=3$ формула даёт $2^3\left(\ln 2+\tfrac{3}{2}\right)=8(0.6931+1.5)\approx 17.545$. Центральная разностная производная с шагом $h=10^{-6}$ для $(x-1)^x$ в точке $x=3$ даёт $17.5452$, значит, производная найдена верно. Этот же шаблон работает для любой функции вида $f(x)^{g(x)}$: её производная равна $f^g\left(g'\ln f+\frac{gf'}{f}\right)$.