Найти явную формулу для суммы e^(1+2i/n), где i пробегает от 1 до n.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим показатель степени, чтобы выделить постоянную часть. По формуле $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$,

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   Число $e$ не зависит от $i$, поэтому оно выносится за знак суммы.

2. 2

   Рассмотрим структуру суммы. Обозначим $r=e^{2/n}$ — тогда слагаемые имеют вид $r, r^{2}, \dots, r^{n}$: каждое следующее получается умножением предыдущего на постоянный знаменатель $r$. Значит, это конечная геометрическая прогрессия с первым членом $a=r$ и числом членов $n$ — обратим внимание, что $n$ входит и в число членов, и в знаменатель.

3. 3

   Применим формулу суммы конечной геометрической прогрессии: $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$, где $a=r$:

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   Условие $r\neq 1$ выполняется, так как $e^{2/n}>1$ при любом положительном $n$.

4. 4

   Упростим $r^{n}$ — именно поэтому ответ получается компактным:

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   Следовательно,

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   Вся зависимость от $n$ сосредоточена только в множителе $e^{2/n}$ и в знаменателе.

5. 5

   Умножим результат на $e$ и осмыслим полученную формулу:

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   Это выражение совпадает с $\tfrac{n}{2}$, умноженным на правый суммированный интегральный приближённый (сумму Римана) для $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$: при умножении на ширину $\tfrac2n$ и предельном переходе $n\to\infty$ имеем $e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ и получаем $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ ✓.