Решить дифференциальное уравнение y² + a y' = b, где a и b — константы.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим производную и проверим разделимость. Преобразуем уравнение:

   $a\frac{dy}{dx}=b-y^{2}\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dy}{dx}=\frac{b-y^{2}}{a}$

   Правая часть зависит только от $y$, значит, уравнение разделяющееся — и оно автономно, то есть $x$ явно не входит. Линейным по $y$ оно не является (мешает $y^{2}$), поэтому метод интегрирующего множителя здесь не подходит.

2. 2

   Разделим переменные. Разделим на $b-y^{2}$ и умножим на $dx$:

   $\frac{dy}{b-y^{2}}=\frac{dx}{a}$

   Здесь предполагается, что $y^{2}\neq b$. Исключённые значения — это как раз равновесные решения $y=\pm\sqrt{b}$ (при $b>0$), где $dy/dx=0$ и $y$ остаётся постоянным — это настоящие решения, которые при разделении переменных могли бы потеряться.

3. 3

   Вычислим интеграл слева разложением на простейшие дроби (случай $b>0$). Обозначим $k=\sqrt{b}$:

   $\frac{1}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{k-y}+\frac{1}{k+y}\right)\Longrightarrow\int\frac{dy}{k^{2}-y^{2}}=\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{k+y}{k-y}\right|$

   Правая часть даёт $x/a+C$:

   $\frac{1}{2\sqrt{b}}\ln\left|\frac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}\right|=\frac{x}{a}+C$

4. 4

   Выразим $y$ явно. Умножим на $2\sqrt{b}$ и проэкспоненцируем обе части, получая $\dfrac{\sqrt{b}+y}{\sqrt{b}-y}=Ae^{2\sqrt{b}x/a}$; решая линейное уравнение относительно $y$, получаем

   $y=\sqrt{b}\,\frac{Ae^{2\sqrt{b}x/a}-1}{Ae^{2\sqrt{b}x/a}+1}=\sqrt{b}\,\tanh\!\left(\frac{\sqrt{b}}{a}x+C\right)$

   Вторая форма получается из $\tanh u=\dfrac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1}$ — дробно-экспоненциальный вид на самом деле скрывает гиперболический тангенс.

5. 5

   Проверим подстановкой. При $a=1{,}7$, $b=2{,}3$, $C=0{,}4$ численная проверка $y^{2}+ay'-b$ при $x=0{,}2$, $0{,}9$ и $1{,}6$ даёт остаток менее $10^{-6}$ ✓. Заметим, что $y\to\pm\sqrt{b}$ при $x\to\pm\infty$: решения ограничены между двумя равновесиями, что и описывает насыщающее поведение функции $\tanh$.

6. 6

   Разберём остальные знаки $b$. Если $b<0$, обозначим $b=-c^{2}$; тогда $a\,y'=-(c^{2}+y^{2})$ интегрируется в арктангенс, получая $y=c\tan\!\left(-\dfrac{c}{a}x+C\right)$ — проверено численно до $10^{-5}$ ✓, и решения неограниченно возрастают при конечных $x$, а не насыщаются. Если $b=0$, то $a\,y'=-y^{2}$ разделяется в $y=\dfrac{a}{x+C}$.