Для y = f(x) = x³ найти среднее изменение y по x при изменении x от 3 до 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем определение. Среднее изменение функции $f$ на отрезке $[a,b]$ вычисляется по формуле $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$, а не производная в одной точке.

2. 2

   Вычислим значения на концах отрезка. $f(5)=5^3=125$, $f(3)=3^3=27$.

3. 3

   Найдём приращение $y$. $\Delta y=125-27=98$.

4. 4

   Найдём приращение $x$. $\Delta x=5-3=2$.

5. 5

   Разделим приращения. $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$, то есть в среднем $y$ увеличивается на $49$ единиц при увеличении $x$ на $1$ на этом промежутке.

6. 6

   Сравним с мгновенными скоростями изменения. Поскольку $f'(x)=3x^2$, угловой коэффициент равен $27$ при $x=3$ и $75$ при $x=5$; среднее значение $49$ лежит между ними, что соответствует теореме Лагранжа.