Найти сумму ряда от n = 1 до бесконечности выражения 1, делённого на [√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)].

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим знаменатель на множители. Запишем $n+2=\sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n+2}$ и $n+1=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+1}$. Знаменатель принимает вид $\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)$ — такую структуру никакое раскрытие скобок не выявило бы.

2. 2

   Избавимся от иррациональности в оставшейся сумме корней. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$; поскольку $\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1$, общий член превращается в $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$.

3. 3

   Разобьём дробь на две. Разделив каждое слагаемое числителя на знаменатель, получаем $\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$ — аккуратную телескопическую разность.

4. 4

   Запишем частичную сумму. $S_N=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}$, потому что все внутренние слагаемые взаимно уничтожаются с соседними.

5. 5

   Перейдём к пределу. При $N\to\infty$ слагаемое $\frac{1}{\sqrt{N+2}}\to 0$, поэтому сумма равна $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$.

6. 6

   Численная проверка. Суммирование $2\times10^{6}$ членов даёт $0.7063997$, а замкнутая формула предсказывает $\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{2000002}}=0.7063997$ — полное совпадение, включая медленно убывающий хвост.