Решить дифференциальное уравнение 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ - 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала найдём равновесные решения. Правая часть обращается в ноль при $y=0$ или $y^3=1$, а для постоянного $y$ имеем $\tfrac{dy}{dt}=0$, значит

   $y\equiv 0\qquad\text{и}\qquad y\equiv 1$

   являются решениями уравнения. Это важно отметить заранее, так как далее в подстановке будет деление на $y$.

2. 2

   Распознаём вид Бернулли. Разделим обе части на $3(1+t^2)$ и раскроем скобки справа:

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   Это уравнение Бернулли с показателем $n=4$, и стандартный приём — подстановка $v=y^{1-n}=y^{-3}$.

3. 3

   Выполним подстановку $v=y^{-3}$. Тогда $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$, а с учётом $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$ получаем:

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   то есть

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   Обратите внимание на знак: коэффициент при $v$ отрицательный. Ошибка со знаком здесь — самая частая в этой задаче и приводит к неверному ответу.

4. 4

   Найдём интегрирующий множитель. При $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$ имеем

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   Умножая обе части, получаем производную сложной функции:

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   Проинтегрируем обе части. Правая часть — стандартная подстановка ($u=1+t^2$):

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   Получаем $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$, то есть

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

6. 6

   Переходим обратно к $y$ и проверяем. Так как $v=y^{-3}$,

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   Проверим численно при $C=0.7$ и $t=1.7$: левая часть $3(1+t^2)y'=-1.60448567$, правая $2ty(y^3-1)=-1.60448567$. $\checkmark$ (При $C=0$ получаем равновесное $y\equiv1$. )