Вычислить интеграл от ln x по dx на отрезке от 0 до 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что интеграл несобственный. $\ln x\to-\infty$ при $x\to0^+$, то есть подынтегральная функция неограничена слева. Поэтому интеграл определяется как предел:

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   Если подставить $0$ напрямую, получится неопределённое выражение $0\cdot\ln 0$.

2. 2

   Найдём первообразную по частям. Пусть $u=\ln x$, $dv=dx$, тогда $du=\tfrac{dx}{x}$, $v=x$:

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   Выбор $dv=dx$ позволяет заменить $\ln x$ на $1/x$, который затем сокращается с $v=x$.

3. 3

   Подставим пределы интегрирования $[a,1]$.

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

4. 4

   Переходим к пределу при сингулярной точке. Особое внимание требует слагаемое $a\ln a$. Представим его как $\dfrac{\ln a}{1/a}$ и применим правило Лопиталя: $\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$. Значит,

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   Интеграл сходится, несмотря на разрыв подынтегральной функции — особенность логарифмическая, а значит, интегрируемая.

5. 5

   Проверим знак и порядок величины. На $(0,1)$ выполнено $\ln x<0$, поэтому отрицательный ответ ожидаем. Среднее значение $\ln x$ на $[0,1]$ равно $-1$, что согласуется с точкой $e^{-1}\approx0{,}368$, где $\ln x$ совпадает со своим средним — это видно и на графике ✓.