Вычислить интеграл x³ sin(7x⁴ + 3) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор метода подстановки вместо интегрирования по частям. Обычно при произведении функций сразу вспоминается интегрирование по частям, но здесь внешний множитель $x^{3}$ (с точностью до константы) совпадает с производной внутренней функции $7x^{4}+3$ под знаком синуса. Это характерная ситуация для метода подстановки — интегрирование по частям только усложнит задачу.

2. 2

   Выполним подстановку. Пусть

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   Константа $\tfrac1{28}$ компенсирует разницу между $x^{3}$ и $28x^{3}$.

3. 3

   Перепишем интеграл полностью через $u$:

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   Переменная $x$ исчезла, что подтверждает правильность выбранной подстановки.

4. 4

   Выполним интегрирование и вернёмся к исходной переменной. Так как $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$:

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   Минус появляется из-за первообразной синуса — это легко упустить при вычислениях.

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. По правилу цепочки:

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   Численное дифференцирование при $x=0{,}4$, $0{,}9$ и $1{,}3$ даёт совпадение до $10^{-5}$. Константа $28$ сокращается — именно для этого она и была введена.