Вычислите тройной интеграл от синуса величины (x² + y² + z²) в степени 3/2 по области между конусом z = корень из 3(x² + y²) и сферой z = корень из (1 − x² − y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем, что это за тело. Нижняя поверхность $z=\sqrt{3}\,r$ (где $r^2=x^2+y^2$) — конус, а верхняя $z=\sqrt{1-r^2}$ — верхняя полусфера единичного радиуса. Они пересекаются там, где $\sqrt3\,r=\sqrt{1-r^2}$, то есть $3r^2=1-r^2$, откуда $r=\tfrac12$: перед нами классическое «мороженое в рожке» между конусом и единичной сферой, проектирующееся на круг $r\le\tfrac12$.

2. 2

   Выбираем сферические координаты, а не цилиндрические. Подынтегральная функция зависит только от $x^2+y^2+z^2 = \rho^2$, поэтому в сферических координатах она превращается в $\sin(\rho^3)$ — функцию одной переменной. Цилиндрические координаты оставили бы неразделяющееся $\sin\!\left((r^2+z^2)^{3/2}\right)$ — именно поэтому переходить нужно до конца, к сферическим.

3. 3

   Превращаем конус в постоянный полярный угол. На конусе $\tan\varphi = \dfrac{r}{z} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, значит $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. Тело описывается так: $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6},\qquad 0\le\theta\le2\pi,$ а элемент объёма равен $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$.

4. 4

   Разбиваем тройной интеграл на три однократных. $I = \int_0^{2\pi}\!d\theta\int_0^{\pi/6}\!\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1}\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho.$ Каждый множитель теперь зависит ровно от одной переменной.

5. 5

   Считаем каждый множитель. $\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$; $\int_0^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\tfrac{\pi}{6} = 1-\tfrac{\sqrt3}{2}$; и, положив $u=\rho^3$, $du=3\rho^2 d\rho$, получаем $\int_0^1\rho^2\sin(\rho^3)\,d\rho = \frac13\int_0^1\sin u\,du = \frac{1-\cos 1}{3}.$ Множитель $\rho^2$ из элемента объёма — как раз то, что делает эту замену возможной.

6. 6

   Перемножаем и проверяем. $I = 2\pi\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\frac{1-\cos 1}{3} \approx 2\pi(0.133975)(0.153233) \approx 0.128989.$ Вложенная численная квадратура исходной цилиндрической записи даёт $0.1289892138$ — совпадение до девятого знака.