Вычислить неопределённый интеграл x² · eˣ по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Распознаём тип произведения и выбираем $u$ так, чтобы степень многочлена уменьшалась. Подынтегральное выражение — это многочлен, умноженный на экспоненту, что является классическим случаем для интегрирования по частям:

   $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

   Выбираем $u=x^2$, $dv=e^x\,dx$. Это делается потому, что при дифференцировании $x^2$ его степень уменьшается, а интегрирование $e^x$ не меняет вид функции. Таким образом, каждый шаг по формуле приближает нас к интегралу, который можно вычислить напрямую. Если бы выбрали наоборот ($u=e^x$), степень $x$ только увеличилась бы, усложняя задачу.

2. 2

   Первое применение формулы. При $u=x^2$, $dv=e^x\,dx$ получаем $du=2x\,dx$, $v=e^x$, поэтому

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-\int e^x\cdot 2x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx$

   Оставшийся интеграл имеет тот же вид, но степень $x$ уменьшилась на единицу, как и планировалось.

3. 3

   Второе применение, для $\int xe^x\,dx$. Берём $u=x$, $dv=e^x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=e^x$:

   $\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x$

   В общем случае для $\int x^n e^x\,dx$ потребуется $n$ шагов, так как степень понижается на каждом. Здесь $n=2$, значит, нужно ровно два применения.

4. 4

   Подставляем результат и упрощаем. Подставим второй результат в первый:

   $\int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\big(xe^x-e^x\big)=x^2e^x-2xe^x+2e^x$

   Вынесем общий множитель $e^x$:

   $\int x^2e^x\,dx=e^x\left(x^2-2x+2\right)+C$

   Не забываем про постоянную $C$: она прибавляется только один раз — в самом конце, а не после каждого шага.

5. 5

   Проверяем результат дифференцированием. Это универсальный способ проверки для неопределённых интегралов. Применяем правило произведения:

   $\frac{d}{dx}\Big[e^x\big(x^2-2x+2\big)\Big]=e^x\big(x^2-2x+2\big)+e^x\big(2x-2\big)=e^x\big(x^2-2x+2+2x-2\big)=x^2e^x$

   Линейные слагаемые сокращаются, и получаем исходное подынтегральное выражение — значит, первообразная найдена верно.

6. 6

   Обобщаем схему для повторного использования. Структура с чередующимися знаками обобщается так:

   $\int x^ne^x\,dx=e^x\left(x^n-nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}-\cdots\pm n!\right)+C$

   При $n=2$ это даёт $e^x(x^2-2x+2)+C$, что совпадает с полученным результатом. Зная это, можно сразу записать $\int x^3e^x\,dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$, не повторяя вычисления трижды.