Вычислить двойной интеграл от e в степени минус (x² + y²) по области 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Не стоит использовать полярные координаты. Обычно для гауссовых интегралов переходят к полярным, но это работает только для круга или всей плоскости. Здесь область — квадрат, и граница по $r$ зависела бы от $\theta$ кусочно. Поэтому выгоднее воспользоваться разложением на множители.

2. 2

   Преобразуем подынтегральную функцию. Показатель — сумма, значит, экспонента раскладывается в произведение:

   $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2} e^{-y^2}$

   Пределы интегрирования — постоянные, а каждый множитель зависит только от одной переменной, поэтому двойной интеграл разбивается на произведение двух одномерных:

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-x^2} e^{-y^2}\,dy\,dx = \left(\int_0^1 e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^1 e^{-y^2}dy\right) = \left(\int_0^1 e^{-t^2}dt\right)^2$

3. 3

   Обозначим одномерный интеграл. У функции $e^{-t^2}$ нет элементарной первообразной, поэтому результат выражается через функцию ошибок, определяемую как

   $\operatorname{erf}(a) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^a e^{-t^2}\,dt$

   Преобразуем формулу:

   $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$

4. 4

   Возведём результат в квадрат:

   $\int_0^1 \!\! \int_0^1 e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)\right)^2 = \frac{\pi}{4}\operatorname{erf}(1)^2$

5. 5

   Подставим численные значения и проверим результат. При $\operatorname{erf}(1) = 0.8427008$:

   $\frac{\pi}{4}(0.8427008)^2 = 0.5577463$

   Численное интегрирование по квадрату даёт $0.55774629$, что совпадает до восьмого знака. Оценка по границам тоже верна: подынтегральная функция принимает значения от $e^{-2} \approx 0.135$ до $1$ на области площадью $1$, и $0.558$ лежит между ними.