Найдите предел √(x² + 6x – 2) при x стремится к 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим значение подкоренного выражения в точке. Сначала вычислим выражение под корнем, поскольку важно убедиться, что корень определён и функция непрерывна:

   $x^2+6x-2 \Big|_{x=3} = 9 + 18 - 2 = 25$

   Значение положительно, значит $\sqrt{\cdot}$ непрерывна в окрестности точки, и подстановка допустима.

2. 2

   Перенесём предел под знак корня. Для внешней непрерывной функции справедливо:

   $\lim_{x\to 3}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 3} g(x)}$

   Это правило композиции, благодаря которому задача сводится к одной строке.

3. 3

   Подставим и упростим:

   $\sqrt{\lim_{x\to 3}(x^2+6x-2)} = \sqrt{25} = 5$

   Берётся главный корень, поэтому ответ — $+5$, а не $\pm 5$.

4. 4

   Отметим, когда такой приём неприменим. Если бы подкоренное выражение стремилось к отрицательному, двухстороннего предела в вещественных числах не существовало бы; если бы к нулю — пришлось бы проверять определённость функции с обеих сторон. Здесь этого не происходит: $x^2+6x-2$ положительно при всех $x > -3 + \sqrt{11} \approx 0{,}317$, что включает $x = 3$.

5. 5

   Проверим численно. При $x = 2{,}99$: $\sqrt{8.9401+17.94-2} = \sqrt{24.8801} = 4.98800$. При $x = 3{,}01$: $\sqrt{9.0601+18.06-2} = \sqrt{25.1201} = 5.01200$. Односторонние значения окружают $5$ и стремятся к нему ✓, а символический предел даёт ровно $5$.