Вычислить определённый интеграл 1.62482e^(-x/12.72238) + 2.85422 по x от x = 0 до x = 300.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём интеграл на два слагаемых, каждое из которых удобно вычислять отдельно. Подынтегральная функция — это экспоненциальное убывание плюс константа, а интегрирование линейно, поэтому

   $\int_0^{300}\!\!\left(a\,e^{-x/k}+c\right)dx=a\int_0^{300}\!e^{-x/k}dx+c\int_0^{300}\!dx$

   где $a=1.62482$, $k=12.72238$, $c=2.85422$.

2. 2

   Вычислим первообразную для экспоненты. Так как $\dfrac{d}{dx}e^{-x/k}=-\dfrac{1}{k}e^{-x/k}$, при интегрировании появляется множитель $-k$:

   $\int a\,e^{-x/k}dx=-ak\,e^{-x/k}+C,\qquad \int c\,dx=cx+C$

   то есть $F(x)=-ak\,e^{-x/k}+cx$.

3. 3

   Подставим пределы интегрирования и упростим выражение.

   $F(300)-F(0)=ak\left(1-e^{-300/k}\right)+300c$

   Вычитание $-e^{-x/k}$ в нижнем пределе даёт $+1$, поэтому вклад экспоненциального слагаемого — положительный $ak$.

4. 4

   Выполним вычисления для каждого слагаемого. Коэффициент экспоненциального члена:

   $ak=1.62482\times12.72238=20.6715774716$

   Постоянное слагаемое:

   $300c=300\times2.85422=856.266$

5. 5

   Покажем, что экспоненциальный хвост пренебрежимо мал. $\dfrac{300}{12.72238}=23.5805$, а $e^{-23.5805}=5.743\times10^{-11}$. Значит, $1-e^{-300/k}=0.99999999994$, что меняет $ak$ только на девятом знаке после запятой — интеграл практически равен своему предельному значению $ak+300c$.

6. 6

   Сложим результаты и уточним ответ, исправляя типичную ошибку.

   $20.6715774716+856.266=876.9375774716$

   Иногда встречается значение $876.93843$, но оно возникает из-за неверного перемножения $1.62482\times12.72238$ как $20.6724315116$; правильное произведение — $20.6715774716$.

7. 7

   Проверим результат численным интегрированием. Трапециевидная сумма с тремя миллионами разбиений на $[0,300]$ даёт $876.9375775$, что совпадает с аналитическим ответом до седьмого знака ✓.