Вычислить интеграл cos x · sin(5 sin x + 2) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем вложенную функцию, производная которой уже присутствует в интеграле. Составная часть — $\sin\left(5\sin x+2\right)$, где вложенной функцией является $5\sin x+2$. Её производная равна $5\cos x$, а множитель $\cos x$ уже стоит вне скобки — это как раз тот случай, когда удобно применять метод подстановки.

2. 2

   Выполним подстановку. Пусть

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   Именно выражение $\cos x\,dx$ удобно выразить через $du$, чтобы все переменные $x$ ушли из интеграла.

3. 3

   Перепишем интеграл полностью через $u$.

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

4. 4

   Выполним интегрирование.

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

5. 5

   Вернёмся к переменной $x$.

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

6. 6

   Проверим результат дифференцированием. По правилу цепочки:

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   Получено исходное подынтегральное выражение ✓. Обратите внимание, что множители $5$ взаимно сокращаются — это подтверждает, что коэффициент $\tfrac15$ в ответе обязателен.